\chapter{数学分析}
\thispagestyle{empty}

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\noindent\shadowbox{
\begin{tcolorbox}[arc=0mm,colback=lightblue,colframe=darkblue,title=Mathematical Analysis]
\kai{~~~~数学分析是大一新生所修的重要学科基础课, 相比非数学专业更强调证明, 对收敛性的讨论篇幅较大, 与大二的实变函数课程联系紧密. 数分
是今后多门专业课的先修课程: 积分学应用于概率论对随机变量的研究; 对积分的进一步研究(Lebesgue积分)是实变函数的重要内容; Fourier变换和多元函数积分学是偏微分方程必不可少的工具... 
山大主选教材为陈纪修的《数学分析》(第三版), 在此基础上结合卓里奇的数学分析教程, 对共计三个学期的数分课程进行完整的内容回顾.}\\

\kai{~~~~数分1的重点: 极限与连续概念, 一元函数微分学, 微分中值定理}\\

\kai{~~~~数分2的重点: 一元函数积分学, 数项级数和函数项级数, 广义积分}\\

\kai{~~~~数分3的重点: 多元函数微分学, 含参变量积分, 多元函数积分学(重积分, 曲线与曲面积分)}

\end{tcolorbox}}
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\section{预备知识}

\begin{tcolorbox}[colback=red!5,colframe=red!75!black]
    ~~~~这部分主要涉及集合与函数概念，内容不多且不难, 可以认为是从高中数学到数分的过渡, 更可以认为是数学各个分支的基石.
    
    ~~~~集合论是高等数学的核心, 由此衍生出基(tu)础(tou)数学和计算机科学的区别: 一个研究连续集合, 比如实数域, 复数域等具有连续势集合上的映射, 另一个更偏向
    离散集合, 也就是有穷集和可列集上的映射. 从前者开始诞生实分析, 复分析, 傅里叶分析, 泛函分析等各大分析, 后者则衍生出图论, 组合数学, 数据结构等计算机科学分支. 认清这一点后, 
    我们便可以用一句话概括数学分析干了啥: 研究实数域或$n$维欧氏空间到实数域上的映射. 同时, 集合论又是各大学科的基础(笔者在数分, 实变, 离散数学三门课上过三遍集合论...), 故不可轻敌.

    ~~~~映射就是数学分析的研究主体. 注意到我们只研究欧氏空间到实数域的映射, 也就是实变量函数, 我们可以归纳出这一类函数的表示方法和基本性质, 同时温习一下高中数学内容.
    
\end{tcolorbox}

\subsection{集合}

1. \textbf{定义：}具有某种特定性质的对象总体。

2. \textbf{集合与元素间的关系：}若元素$a$在集合$A$内，则称$a$属于$A$，记作$a \in A$.

3. \textbf{集合之间的关系：}若集合$A$的所有元素同时为集合$B$内的元素，则称$A$包含于$B$，记作$A \subset B$；若$A \subset B$，且$B \subset A$，则称集合$A$与集合$B$相等，记作$A=B$。

4. 集合的运算：

~~~~（1）交：$a \in A \cap B$当且仅当$a \in A$且$a \in B$，称$A \cap B$为集合$A$和集合$B$的交；

~~~~（2）并：$a \in A \cup B$当且仅当$a \in A$或$a \in B$，称$A \cup B$为集合$A$和集合$B$的并；

~~~~（3）补：$a \in A^C$当且仅当$a \notin A$，称$A^C$为集合$A$的补；

~~~~（4）差：$a \in A-B$当且仅当$a \in A$且$a \notin B$，称$A-B$为集合$A$和集合$B$的差。

5. 集合运算的性质：

~~~~（1）结合律：$A \cap(B\cap C)=(A \cap B)\cap C$；$A \cup(B\cup C)=(A \cup B)\cup C$；

~~~~（2）交换律：$A\cap B = B \cap A$；$A \cup B = B \cup A$；

~~~~（3）分配律：$A \cap (B \cup C)=(A \cap B)\cup(A\cap C)$；
$A \cup (B \cap C)=(A \cup B)\cap(A\cup C)$；

~~~~（4）德摩根律：$(A\cap B)^C=A^c\cup B^C$；$(A\cup B)^C=A^c\cap B^C$。

6. \textbf{集合的势：}当集合有有限个元素时，集合的元素个数称为集合的势；当集合有无限个元素，但可以按照某种规律排成一列时，称集合具有可列势。

7. \textbf{笛卡尔积：}集合$A\times B =\{(x,y)|x \in A,y \in B\}$称为集合$A$和集合$B$的笛卡尔积。

\subsection{映射}

1. \textbf{定义：}若存在集合$X$与集合$Y$间的对应关系$f$，使得任意$x \in X$，存在唯一的$y \in Y$使得$f(x)=y$，
则称对应关系$f$为集合$X$到集合$Y$上的映射，记作$f:X\rightarrow Y$。此时称$x$为$y$的原像，$y$为$x$的像。

2. 特殊的映射：

~~~~（1）单射：若$f(x)=f(y)$当且仅当$x=y$，即一个像唯一对应一个原像，则称$f$为单射；

~~~~（2）满射：若对任意$y\in Y$，均存在$x \in X$，使得$f(x)=y$，则称$f$为满射；

~~~~（3）双射：若$f$既为单射又为满射，则称$f$为双射，又称为一一对应。

3. \textbf{函数：}若映射$f$的定义域和值域均限制为数域，则称$f$为函数，此时$x$称为自变量，$y$称为因变量；特殊地，当$X \subset R$，$Y=R$时，称$f$为一元实函数。

4. 基本初等函数：

~~~~（1）常数函数：$y=c$，其中$c$为常数；

~~~~（2）幂函数：$y=x^\alpha$；

~~~~（3）指数函数：$y=a^x$，其中$a>0$且$a\neq 1$；

~~~~（4）对数函数：$y=\log_a x$，其中$a>0$且$a \neq 1$；

~~~~（5）三角函数：$y=\sin x$，$y=\cos x$，$y=\tan x$，$y=\cot x$；

~~~~（6）反三角函数：$y=\arcsin x$，$y=\arccos x$，$y=\arctan x$。

5. \textbf{参数方程：}形如
\begin{equation*}
    \left\{\begin{aligned}
        x&=&x(t)\\
        y&=&y(t)
    \end{aligned}\right. , t\in[a,b]
\end{equation*}用参数$t$间接表示自变量和因变量关系的方程组称为参数方程。

6. \textbf{隐函数：}形如$F(x,y)=0$的函数称为隐函数，通常解不出$y=f(x)$的显式函数表达式。

7. 函数的特殊性质：

~~~~（1）有界：若存在$ M>0$，使得任意$x \in X$，均有$|f(x)|\leqslant M$，则称$f(x)$为有界函数。

~~~~（2）单调：若对任意满足$x_1<x_2$的$x_1,x_2 \in X$，均有$f(x_1)\leqslant f(x_2)$，则称$f(x)$在$X$上单调递增，等号无法成立时称为严格单调递增；
若对任意满足$x_1<x_2$的$x_1,x_2 \in X$，均有$f(x_1)\geqslant f(x_2)$，则称$f(x)$在$X$上单调递减，等号无法成立时称为严格单调递减。

~~~~（3）奇偶：当$X$关于原点对称时，若对任意$x \in X$，均有$f(x)=f(-x)$，则称$f(x)$在$X$上为偶函数；
若对任意$x \in X$，均有$f(x)=-f(-x)$，则称$f(x)$在$X$上为奇函数。

~~~~（4）周期：若存在某一正数$T\in R$，使得任意$x \in X$，均有$f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为周期函数，$T$为周期；符合条件的最小正数$T$称为$f(x)$的最小正周期。

\section{极限}

\begin{tcolorbox}[colback=red!5,colframe=red!75!black]
    ~~~~极限是数学分析最基本的概念，研究无限逼近时的数列和函数性质。由于极限是涉及无穷的概念，因此时常和直观感受不符。学习极限概念时，最重要的就是
    掌握如何用最严谨的$\varepsilon-N$语言描述，而不是靠着想当然来回答问题。

    ~~~~为了研究实数系上的极限，必须证明实数系的稠密性，即无限逼近的过程中，任意时刻的位置仍在实数轴上。在此基础上，根据“姚多近优多近”的思维方式取定和$\varepsilon$相关的$N$，
    严谨地推导极限的相关性质。

    ~~~~在引入极限的严谨定义后，围绕数列和函数的极限产生了实数系完备性定理，分别是确界存在性定理、单调有界准则、柯西收敛准则、闭区间套定理和Bolzano-Weierstrass定理。这五条定理是实分析严谨理论的基石，
    初学时不妨尝试着翻来覆去推导几遍。

    ~~~~温馨提示：从极限开始，会有很多需要自己动手证明的命题或者定理，用上标“*”表示。请尽量尝试独立推导和证明。

\end{tcolorbox}

\subsection{实数系连续性}

1. 数系的扩充：

~~~~（1）整数系$\mathbb{N}$：所有整数构成的集合，具有对加法运算和乘法运算的封闭性。

~~~~（2）有理数系$\mathbb{Q}$：所有形如$\frac{p}{q}$形式的有理数构成的集合，其中$p$，$q$均为非零整数。

~~~~（3）实数系$\mathbb{R}$：所有有理数和无理数构成的集合。

2. \textbf{实数系的连续性：}$\forall x_1,x_2\in \mathbb{R}$，$\exists y \in \mathbb{R}$，$x_1<y<x_2$；

3. \textbf{最值：}对实数集$A \in R$，若$\exists x \in A$， $\forall y \in A$，$x \geqslant y$，则称$x$为$A$的最大值；
若$\exists x \in A$， $\forall y \in A$，$x \leqslant y$，则称$x$为$A$的最小值，记作$x = \min A$。

4. \textbf{确界：}若集合$A$的所有上界组成的集合为$U$，则称$\min U$为集合$A$的上确界，记作$\sup A$；
若集合$A$的所有下界组成的集合为$L$，则称$\max L$为集合$A$的下确界，记作$\inf A$。以上确界为例，证明中往往使用如下等价描述：

~~~~（1）上界：$\forall x \in A, x \leqslant \sup A$；

~~~~（2）最小：比它小的都不是$A$的上界，即$\forall \varepsilon>0$，$\exists x \in A$，$x>\sup A-\varepsilon$.

5. \textbf{确界存在定理$^*$：}非空有上界的集合必存在唯一上确界，非空有下界的集合必存在唯一下确界。

\subsection{数列极限}


1. \textbf{定义：}设$\{x_n\}$为实数列，$a$为实常数，若对任意给定$\varepsilon>0$，存在与$\varepsilon$有关的正整数$N$，对$\forall n>N$，均有
$\left|x_n-a\right|<\varepsilon$，则称数列$\{x_n\}$收敛于$a$，记作
\begin{equation*}
    \lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=a
\end{equation*}
若不存在这样的常数$a$，则称$\{x_n\}$发散。

2. \textbf{无穷量：}若$\forall G>0$，$\exists N \in \mathbb{N}^*$，$\forall n>N$，$\left|x_n \right|>G$，
则称数列$\{x_n\}$为无穷大量；若$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=0$，则称$\{x_n\}$为无穷小量。

3. 极限的性质：

~~~~（1）唯一性$^*$：若$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=a$，且$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=b$，则$a=b$。

~~~~（2）有界性$^*$：若$\{x_n\}$收敛，则$\exists M >0$，$\forall n \in \mathbb{N}^*$，$\left|x_n\right|<M$。

~~~~（3）保序性$^*$：若$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n<\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n$，则$\exists N\in \mathbb{N}^*$，$\forall n>N$，$x_n<y_n$。

~~~~（4）夹逼准则$^*$：若$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}z_n=a$，且$\exists N \in \mathbb{N}^*$，$\forall n>N$，$x_n\leqslant y_n\leqslant z_n$，则$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n=a$。非常重要！！

4. \textbf{Stolz定理$^*$：}若$\{y_n\}$是严格单调增加的正无穷大量，且
\begin{equation*}
    \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=a
\end{equation*}
其中$a$可为实常数或无穷大量，则$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{x_n}{y_n}=a$。

5. 收敛判定准则：

~~~~（1）单调有界准则$^*$：若$\{x_n\}$单调递增且有上界，则$\{x_n\}$收敛；若$\{x_n\}$单调递减且有下界，则$\{x_n\}$收敛。

~~~~（2）柯西收敛准则$^*$：数列$\{x_n\}$收敛的充要条件是：$\forall \varepsilon>0$，$\exists N\in \mathbb{N}^*$，$\forall n,m>N$，$\left|x_n-x_m\right|<\varepsilon$。

6. \textbf{实数系的完备性：}由实数构成的柯西列$\{x_n\}$必存在实数极限。

7. \textbf{实数系基本定理：}之前介绍过确界存在性定理、单调有界准则、柯西收敛准则。

~~~（1）闭区间套定理$^*$：若一列闭区间$\{\left[a_n,b_n\right]\}$满足$\left[a_{n+1},b_{n+1}\right]\subset \left[a_{n+1},b_{n+1}\right]$，且$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(b_n-a_n\right)=0$，则存在唯一$\xi$属于所有$\left[a_n,b_n\right]$，且$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}b_n=\xi$。

~~~~（2）波尔查诺-维尔斯特拉斯定理$^*$：有界数列必有收敛子列。

\subsection{函数极限}

1. \textbf{定义：}设函数$y=f(x)$在$x_0$点的某去心邻域内有定义，$A$为实常数，若对任意给定的$\varepsilon>0$，存在与$\varepsilon$有关的$\delta>0$，
使得任意$0<\left|x-x_0\right|<\delta$，均有$|f(x)-A|<\varepsilon$，则称$A$是函数$f(x)$在点$x_0$处的极限，记作$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$。

2. \textbf{性质：}唯一性、局部有界性、局部保序性、夹逼准则，基本和数列极限一致。

3. \textbf{海涅定理$^*$：$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$的充分必要条件是：}对任意满足$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}x_n=x_0$的数列$\{x_n\}$，有$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}f\left(x_n\right)=A$。

4. \textbf{单侧极限：}在函数极限定义中，若范围改为$0<x-x_0<\delta$，则称为右侧极限；若范围改为$0<x_0-x<\delta$，则称为左侧极限。

5. \textbf{柯西收敛准则：函数极限$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x)$存在的充要条件是：}$\forall \varepsilon>0$，$\exists X>0$，$\forall x_1,x_2>X$，$\left|f(x_1)-f(x_2)\right|<\varepsilon$。

6. \textbf{无穷量：}若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=0$，则称$x\rightarrow x_0$时$f(x)$是无穷小量；
若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty$，则称$x\rightarrow x_0$时$f(x)$是无穷大量。

7. \textbf{无穷量的比较：}以无穷小量为例，考虑两个无穷小量$f(x)$和$g(x)$的比值
\begin{equation*}
    \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=k
\end{equation*}

~~~~（1）$k=0$：$f(x)$是$g(x)$的高阶无穷小量，记作$f(x)=o\left(g(x)\right)$；

~~~~（2）$k=\infty$：$f(x)$是$g(x)$的低阶无穷小量；

~~~~（3）$k$为非零实数：$f(x)$是$g(x)$的同阶无穷小量；

~~~~（4）$k=1$：$f(x)$与$g(x)$互为等价无穷小量。

\section{连续函数}

\begin{tcolorbox}[colback=red!5,colframe=red!75!black]
    ~~~~相比于实分析、泛函分析等后继课程，数学分析的一大特点就是研究性质比较“好”的函数，比如在特定区间上连续的函数，或者可求任意阶导数的函数。诸如连续、可导、可积这种描述函数“好不好”的性质，通常称作函数分析性质。

    ~~~~在闭区间上连续的函数，性质往往比较“好”，这就意味着能从连续性出发，推导出这个函数满足的其它特性。因此，在研究连续函数的性质时，闭区间上的连续函数性质是非常重要的一环。

    ~~~~那还有没有比连续函数性质更“好”的函数呢？事实上，函数的连续性可分为“点态连续”和“一致连续”，而通常闭区间上的连续函数要求的仅仅是逐点连续。一致连续的要求更加严苛，它要求所取的$\varepsilon$必须和区间上连续点的具体位置无关。
    自然，一致连续函数也有更多的优良性质。

\end{tcolorbox}

\subsection{点态连续}

1. \textbf{$f(x)$在某点$x_0$处连续的定义：}若$f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，且$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$，
则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续，此时$x_0$是函数$f(x)$的一个连续点。

2. \textbf{单侧连续：}若$f(x)$在$x_0$点的左极限为$f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$处左连续；
若$f(x)$在$x_0$点的左极限为$f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$处右连续。

3. \textbf{开区间上的连续性：}若$f(x)$在开区间$(a,b)$的任意一点处连续，则称$f(x)$在$(a,b)$上连续。

4. \textbf{闭区间上的连续性：}若$f(x)$在开区间$(a,b)$上连续，且在$a$点右连续，在$b$点左连续，则称$f(x)$在$[a,b]$上连续。

5. 性质：

~~~~（1）四则运算连续性：连续函数经过四则运算后，除去分母为零的点，仍为连续函数；

~~~~（2）反函数连续性$^*$：若函数$f(x)$在闭区间上连续且严格单增，则反函数$f^{-1}(y)$同样连续且严格单增。

~~~~（3）复合函数连续性：两个连续函数的复合仍然为连续函数。

~~~~（4）初等函数连续性：所有初等函数在定义区间上均为连续函数。

6. \textbf{间断点：}若$f(x)$在点$x_0$处不连续，则称$x_0$为$f(x)$的一个间断点。根据$x_0$点处的左右极限，大致分为三类：

~~~~（1）可去间断点：左极限等于右极限，但不等于$x_0$点处的函数值；

~~~~（2）跳跃间断点：左极限不等于右极限；

~~~~（3）第二类间断点：左极限和右极限至少有一个不存在。

\subsection{闭区间上的连续函数}

1. \textbf{有界性定理$^*$：}若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界。

2. \textbf{最值定理$^*$：}若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上必能取到最大值和最小值。

3. \textbf{零点存在性定理$^*$：}若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则存在$\xi \in (a,b)$，使得$f(\xi)=0$。

4. \textbf{介值定理$^*$：}若$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且最大值为$M$，最小值为$m$，则对任意$C\in[m,M]$，存在$\xi \in [a,b]$，使得$f(\xi) =C$。

\subsection{一致连续}

1. \textbf{定义：}设函数$f(x)$在区间$X$上有定义，若$\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta >0$，$\forall x_1,x_2\in X$满足$\left|x_1-x_2\right|<\delta$，
均有$\left|f(x_1)-f(x_2)\right|<\varepsilon$成立，则$f(x)$在区间$X$上一致连续。

2. \textbf{证明非一致连续的技巧：}若区间$X$上存在$\{x_n\}$和$\{y_n\}$满足$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left(x_n-y_n\right)=0$，但$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f(x_n) \neq \lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f(y_n)$，
则可判定$f(x)$在区间$X$上非一致连续。

3. \textbf{Cantor定理：}若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上一致连续。

\section{一元函数微分学}

\begin{tcolorbox}[colback=red!5,colframe=red!75!black]
    ~~~~在做好了关于实数系、极限、连续的铺垫后，接下来将正式进入一元函数微分学的学习。

    ~~~~高中阶段简要介绍了导数的基本求法，以及一些基本初等函数的导数，在应用层面仅仅停留在利用导数求极限部分。事实上，导数的魅力不止于此：拉格朗日中值定理揭示了弦和切线的重要联系，
    是数学证明不可或缺的重要工具；洛必达法则为比较无穷小量省去诸多繁琐的推导，仅需不断地求导，便可轻松解决不定式的问题；泰勒展开作为数值逼近的手段，在计算数学中有着极为广泛的应用。    
    
    ~~~~提醒一点，虽然之前已经掌握了基本的求导方法，但求导法则可不能乱用，导数的应用必须建立在函数可导的基础上。
    因此学习微分学的知识时，首先需要学习从定义层面上判定函数是否可导。

\end{tcolorbox}

\subsection{微分和导数的概念}

1. \textbf{微分：}若自变量$x$的增量$\Delta x\rightarrow 0$时，因变量$y$的增量$\Delta y =f(x+\Delta x)-f(x)$可表示为
\begin{equation*}
    \Delta y = g(x_0)\Delta x+o(\Delta x)
\end{equation*}
则称$f(x)$在$x_0$点可微；若$f(x)$在区间$X$内任一点均可微，则称$f(x)$在区间$X$上可微，记作$\mathrm{d}y=g(x)\mathrm{d}x$。

2. \textbf{导数：}若$x_0$处极限
\begin{equation*}
    \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
\end{equation*}
存在，则称$f(x)$在$x_0$处可导，并称该极限值为$f(x)$在$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$；若$f(x)$在区间$X$内任一点均可导，则称$f(x)$在区间$X$上可导，并将导函数记作$f'(x)$或$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

3. \textbf{可微、可导和连续的关系：}可微与可导等价，可导函数必连续，连续函数不一定可导。

4. \textbf{单侧导数：}在导数定义式中，若取左极限，得到的便是左导数；若取右极限，得到的便是右导数。

5. \textbf{函数可导的判定：}函数在某点可导的充要条件是该点处函数的左、右导数存在且相等。

6. 常用函数及其导数：

~~~~（1）常数函数：$(C)'=0$；

~~~~（2）指数函数、对数函数：$\left(a^x\right)'=a^x \ln a$，$\left(\log_a x\right)'=\frac{1}{x\ln a}$；

~~~~（3）幂函数；$\left(x^a\right)'=ax^{a-1}$；

~~~~（4）三角函数：$(\sin x)'=\cos x$；$(\cos x)'=-\sin x$。

7. \textbf{高阶微分：}$\mathrm{d}^n y =f^{(n)}(x)\mathrm{d}x^n$，其中$f^{(n)}(x)$为对$f(x)$连续求$n$次导数的结果，又记作$f^{(n)}(x)=\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}$。

\subsection{求导法则}

1. 四则运算：

~~~~（1）加法和减法：$\left(f\pm g\right)'=f' \pm g'$；

~~~~（2）乘法：$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f \cdot g'$；

~~~~（3）除法：$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2}$。

2. \textbf{反函数求导法则：}设反函数为$x=f(y)$，对两边求微分得$\mathrm{d}x=f'(y) \mathrm{d}y$，
整理得$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{f'(y)}$。

3. \textbf{复合函数求导法则：}设$y=f\left(g(x)\right)$是$y=f(u)$和$u=g(x)$两个函数的复合，则$y'(x)=y'(u)\cdot u'(x)$，或记作
\begin{equation*}
    \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}
\end{equation*}

4. \textbf{一阶微分的形式不变性：}对函数$y=f(x)$而言，无论$x$是因变量还是中间变量，一阶微分的形式总是相同的：
\begin{equation*}
    \mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x
\end{equation*}

5. \textbf{隐函数求导法则：}设隐函数$F(x,y)=0$，将$y$视为关于$x$的函数$y(x)$，对两边关于$x$求导，整理出$y'$的显式函数表达式。

6. \textbf{参数方程求导法则：}对参数方程$x=\varphi(t)$，$y=\psi (t)$，先求$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\varphi'(t)$，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\psi'(t)$，
再将两者相除，消去$\mathrm{d}t$，得到
\begin{equation*}
    \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}
\end{equation*}

\subsection{微分中值定理}

1. \textbf{极值：}设$f(x)$在$(a,b)$上有定义，$x_0\in(a,b)$，若存在$x_0$的某一邻域，使得邻域内任意一点$x$，
均有$f(x)\leqslant f(x_0)$，则称$x_0$为$f(x)$的一个极大值点；$f(x)\geqslant f(x_0)$时，称$x_0$为$f(x)$的一个极小值点。

2. \textbf{费马引理$^*$：}设$x_0$是$f(x)$的一个极值点，且$f(x)$在$x_0$处可导，则$f'(x_0)=0$。

3. \textbf{罗尔中值定理$^*$：}设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，$f(a)=f(b)$，则存在$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。

4. \textbf{拉格朗日中值定理$^*$：}设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，则存在$\xi \in (a,b)$，使得
\begin{equation*}
    f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
\end{equation*}

5. \textbf{柯西中值定理$^*$：}设$f(x)$和$g(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，且$g(x)\neq 0$，则存在$\xi \in (a,b)$，使得
\begin{equation*}
    \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
\end{equation*}

6. \textbf{洛必达法则$^*$：}若$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)$和$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)$同为$0$或$\infty$，则有
\begin{equation*}
    \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}
\end{equation*}

\subsection{泰勒展开}

1. \textbf{带Peano余项的泰勒展开$^*$：}设$f(x)$在$x_0$处有$n$阶导数，则存在$x_0$的一个邻域，对该邻域内任意一点$x$，成立
\begin{equation*}
    f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o\left((x-x_0)^n\right)
\end{equation*}

2. \textbf{带Lagrange余项的泰勒展开：}条件同上，$\xi$为$x$和$x_0$之间一点，成立
\begin{equation*}
    f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
\end{equation*}

3. \textbf{麦克劳林公式：}取$x_0=0$，其中$r_n(x)$为皮亚诺余项或拉格朗日余项：
\begin{equation*}
    f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+r_n(x)
\end{equation*}

4. 常用函数的麦克劳林展开：

~~~~（1）$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+r_n(x)$；

~~~~（2）$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\cdots+\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n!}+r_n(x)$；

~~~~（3）$\sin x =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+r_{2n+2}(x)$；

~~~~（4）$\cos x =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+r_{2n+1}(x)$。

5. \textbf{应用举例：}求未定式极限；证明和导数相关的不等式；求曲线的渐近线方程。

\section{一元函数积分学}

\begin{tcolorbox}[colback=red!5,colframe=red!75!black]
    ~~~~不定积分是和微分相对应的概念。就和乘法、除法的关系一样，不定积分就是把微分作逆运算，倒回去求原函数。定积分则是
    用于求不规则体面积的工具，将横轴分为若干小段，在每一段内求矩形面积再求和。

    ~~~~这两个出发点完全不同的概念，仅仅用了一个公式就紧密地联系在一起，这就是一元函数微积分中最伟大的结论之一：Newton-Leibniz公式。
    有了这个公式后，定积分和不定积分的求解方法便可完全互通，知道不定积分和上下限，便能轻松求出不规则区域的面积。

    ~~~~这个公式的意义不止于此，若将积分上下限改为间断点或无穷远处，仍可以通过微积分基本定理转化为不定积分求解问题。这种积分限较为特殊的积分称为广义积分，除了关心
    广义积分的具体值外，往往还会研究广义积分的收敛性，并引申出很多收敛性的判别法。
\end{tcolorbox}

\subsection{不定积分}

1. \textbf{原函数：}若函数$F(x)$和$f(x)$满足$F'(x)=f(x)$，则称$F(x)$为$f(x)$的原函数。

2. \textbf{不定积分：}函数$f(x)$原函数的全体称为$f(x)$的不定积分，记作$\int f(x)\mathrm{d}x$。
若$f(x)$的某一个原函数为$F(x)$，则$\int f(x)\mathrm{d}x = F(x)+C$，其中$C$为任意常数。

3. \textbf{第一类换元积分法：}若$f(x)$可等价变化为$f\left(u(x)\right)\cdot u'(x)$，则用$\mathrm{d}u=u'(x)\mathrm{d}x$代换，得
\begin{equation*}
    \int f(x)\mathrm{d} x =\int f(u)\mathrm{d}u
\end{equation*}
即用中间变量$u$代替原本的变量$x$进行积分。当前的积分变元由微分是$\mathrm{d}x$还是$\mathrm{d}u$决定，下同。

4. \textbf{第二类换元积分法：}代入$\mathrm{d}x =x'(u)\mathrm{d}u$，得
\begin{equation*}
    \int f(x)\mathrm{d} x =\int f\left(x(u)\right)\cdot x'(u)\mathrm{d} u 
\end{equation*}
即把原本变量$x$替换为中间变量$u$积分。

5. \textbf{分部积分法：}利用微分的乘法法则$\mathrm{d}(u\cdot v)=u\cdot \mathrm{d}v +v\cdot \mathrm{d}u$，两边求积分得
\begin{equation*}
    u\cdot v =\int u \mathrm{d}v+\int v\mathrm{d}u
\end{equation*}
因此，在求$\int f(x)\mathrm{d} g(x)$时，可以借助分部积分，转化为$f(x)\cdot g(x)-\int g(x)\mathrm{d}f(x)$，交换待积式和微分式。

\subsection{定积分}

1. \textbf{定义：}设$f(x)$是定义在$[a,b]$上的有界函数，在$[a,b]$上任意取划分$P:a=x_0<x_1\cdots<x_n=b$，
在区间$[x_{i-1},x_i]$内任取一点$\xi_i$。记小区间$[x_{i-1},x_i]$的长度为$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，并记小区间长度的最大值为$\lambda=\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n} \Delta x_i$。
若如下极限存在：
\begin{equation*}
    \lim\limits_{\lambda \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^n f\left(\xi_i\right)\Delta x_i
\end{equation*}
且极限值与划分$P$和点$\xi$的取法均无关，则称该极限值为$f(x)$在$[a,b]$上的定积分，记作$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$，此时称$f(x)$在$[a,b]$上可积。

2. 可积性条件：

~~~~（1）达布和：令$M_i=\max\limits_{x_{i-1}\leqslant x\leqslant x_i}f(x)$，$m_i=\min\limits_{x_{i-1}\leqslant x\leqslant x_i}f(x)$，
则称$\sum\limits_{i=1}^n M_i\Delta x_i$为达布大和，$\sum\limits_{i=1}^n m_i\Delta x_i$为达布小和。

~~~~（2）黎曼可积的充要条件：$f(x)$在$[a,b]$上可积的充要条件是：对任意划分$P$，当区间长度的最大值$\lambda \rightarrow 0 $时，达布大和与达布小和的极限值相等。

~~~~（3）振幅与可积性条件：记振幅$\omega_i=M_i-m_i$，则有界函数$f(x)$对任意划分$P$，当区间长度的最大值$\lambda \rightarrow 0 $时，$\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0}\sum\limits_{i=1}^n \omega_i\Delta x_i= 0$。

~~~~（4）闭区间上函数的可积性$^*$：闭区间上的连续函数必定可积；闭区间上的单调函数必定可积。

~~~~（5）可积的常用判定方法$^*$：有界函数$f(x)$在$[a,b]$上可积的充要条件是：对任意给定的$\varepsilon>0$，存在一种划分$P$，使得$\sum\limits_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i <\varepsilon$。

3. 定积分的性质：

~~~~（1）线性性质：$\int_a^b \left(k_1f(x)+k_2g(x)\right)\mathrm{d}x=k_1\int_a^bf(x)\mathrm{d}x+k_2\int_a^bg(x)\mathrm{d}x$；

~~~~（2）保序性$^*$：若$[a,b]$上恒有$f(x)\geqslant g(x)$，则$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\geqslant \int_a^b g(x)\mathrm{d}x$。

~~~~（3）绝对可积性$^*$：若$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$\left|f(x)\right|$在$[a,b]$上也可积，且成立
\begin{equation*}
    \left|\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\right|\leqslant \int_a^b \left|f(x)\right|\mathrm{d}x
\end{equation*}

~~~~（4）区间可加性$^*$：若$c\in [a,b]$，则$f(x)$在$[a,b]$上可积的充要条件是$f(x)$在$[a,c]$和$[c,b]$上均可积，且满足
\begin{equation*}
    \int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\int_a^c f(x)\mathrm{d}x+\int_c^b f(x)\mathrm{d}x
\end{equation*}

4. 积分第一中值定理$^*$：

~~~~（1）若$f(x)$和$g(x)$在区间$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上不变号，记$\sup\limits_{[a,b]}f(x)=M$，$\inf\limits_{[a,b]}f(x)=m$，则存在$\eta \in [m,M]$，满足
\begin{equation*}
    \int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x=\eta \int_a^b g(x)\mathrm{d}x
\end{equation*}

~~~~（2）在上述条件下，若$f(x)$在$[a,b]$上连续，则存在$\xi \in [a,b]$，使得
\begin{equation*}
    \int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x =f(\xi) \int_a^b g(x)\mathrm{d}x
\end{equation*}

5. \textbf{变限积分：}设$f(x)$在$[a,b]$上连续，作函数$F(x)=\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$，其中$x \in [a,b]$，
则该函数称为$f(x)$的变上限积分，同理定义$F(x)=\int_x^b f(t)\mathrm{d}t$为$f(x)$的变下限积分。
此时$F(x)$在$[a,b]$上为可微函数，且$F'(x)=f(x)$。

6. \textbf{微积分基本定理：}设$f(x)$在$[a,b]$上连续，$F(x)$是$f(x)$在$[a,b]$上的一个原函数，则有
\begin{equation*}
    \int_a^b f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)
\end{equation*}
此公式便是著名的牛顿-莱布尼茨公式。

7. 定积分用于几何计算：

~~~~（1）$f(x)$与$x$轴围成的平面图形面积：设图形所处横坐标区间为$[a,b]$，则该面积为$\int_a^b f(x)\mathrm{d} x$；

~~~~（2）$f(x)$图像上一段曲线的弧长：设曲线所处横坐标区间为$[a,b]$，则曲线弧长为$\int_a^b \sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x$；

~~~~（3）$f(x)$围绕$x$轴旋转一圈形成的旋转体体积：设旋转体所处横坐标区间为$[a,b]$，则旋转体体积为$\pi \int_a^b \left[f(x)\right]^2\mathrm{d}x$；

~~~~（4）极坐标方程$r=r(\theta)$下平面图形面积：设图形所处角度区间为$[\alpha,\beta]$，则面积为$\frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\mathrm{d}\theta$。

\subsection{广义积分}

1. \textbf{定义：}积分区间无限或者被积函数无界的定积分。

2. \textbf{收敛性：}设函数$f(x)$在$[a,+\infty]$上有定义，且在任意有限区间$[a,A]$上可积。若极限
\begin{equation*}
    \lim\limits_{A\rightarrow +\infty}\int_a^A f(x)\mathrm{d}x
\end{equation*}
存在，则称广义积分$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛，积分值等于上述极限值；若该极限不存在，则称广义积分$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$发散。

3. \textbf{柯西主值：}若
\begin{equation*}
    \lim\limits_{A\rightarrow +\infty}\int_{-A}^A f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{A\rightarrow+\infty} \left[F(A)-F(-A)\right]
\end{equation*}

收敛，则称该极限为$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$的柯西主值，记作(cpv)$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$。

4. \textbf{柯西收敛准则：广义积分$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛的充分必要条件是：}$\forall \varepsilon>0$，$\exists N \geqslant a$，$\forall A_1,A_2>N$，有
\begin{equation*}
    \left|\int_{A_1}^{A_2}f(x)\mathrm{d}x\right|<\varepsilon
\end{equation*}

5. \textbf{绝对收敛：}若广义积分$\int_a^{+\infty}\left|f(x)\right|\mathrm{d}x$收敛，则称$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$绝对收敛；
若$\int_a^{+\infty}\left|f(x)\right|\mathrm{d}x$发散而$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛，则称$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$条件收敛。

6. 非负函数广义积分的收敛判别法：

~~~~（1）比较判别法：若$[a,+\infty)$上恒有$0\leqslant f(x)\leqslant K\varphi(x)$，则$\int_a^{+\infty}\varphi(x)\mathrm{d}x$收敛时 $\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛，$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$发散时
$\int_a^{+\infty}\varphi(x)\mathrm{d}x$发散。

~~~~（2）比较判别法的极限形式：考虑$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{\varphi(x)}=l$，当$l$为实常数时$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$
和$\int_a^{+\infty}\varphi(x)\mathrm{d}x$同时收敛或发散；当$l=\infty$时，$\int_a^{+\infty}\varphi(x)\mathrm{d}x$发散意味着$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$发散；
当$l=0$时，$\int_a^{+\infty}\varphi(x)\mathrm{d}x$收敛意味着$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛。

~~~~（3）柯西判别法：若$f(x)\leqslant\frac{K}{x^p}$，$p>1$，则$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛；若$f(x)\geqslant \frac{K}{x^p}$，$p\leqslant 1$，则$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$发散。

7. \textbf{积分第二中值定理：}设$f(x)$在$[a,b]$上可积，$g(x)$在$[a,b]$上单调，则存在$\xi \in [a,b]$，使得
\begin{equation*}
    \int_a^b f(x)g(x)\mathrm{d}x=g(a)\int_a^\xi f(x)\mathrm{d}x+g(b)\int_\xi ^b f(x)\mathrm{d}x
\end{equation*}

8. \textbf{Abel-Dirichlet判别法：}若下面某个条件满足，则广义积分$\int_a^{+\infty} f(x)g(x)\mathrm{d}x$收敛：

~~~~（1）Abel条件：$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$收敛，$g(x)$在$[a,+\infty)$上单调有界；

~~~~（2）Dirichlet条件：$F(A)=\int_a^Af(x)\mathrm{d}x$在$A\in[a,+\infty)$上有界，$g(x)$在$[a,+\infty)$上单调且$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}g(x)=0$。

\section{无穷级数}

\begin{tcolorbox}[colback=red!5,colframe=red!75!black]
    ~~~~无穷级数研究的目标是无穷项的和。当求和的每一项都是确定的数时，该级数被称作数项级数；当求和的项和某一自变量$x$相关时，求和的结果会是关于$x$的函数，被称作函数项级数。
    
    ~~~~数项级数分为两种情况：当求和结果随着项数增加而越来越逼近某一特定值时，该级数收敛；当求和结果无法控制在某一具体值附近时，该级数发散。因此，研究常数项级数的性质时，不仅要掌握
    常数项级数的求法，还需要掌握判断级数敛散性的方法。

    ~~~~函数项级数也分为两种情况：点态收敛和一致收敛。在$x$的定义域内，若任取一点$x_0$代入，得到的数项级数都收敛，则函数项级数是点态收敛的；一致收敛的条件更为苛刻，性质也更为优异。

    ~~~~傅里叶级数可以将任意信号转化为正弦、余弦信号的叠加，
    由此衍生出的傅里叶变换、离散余弦变换、快速傅里叶变换提供了时域-频域转化的方法，是音频和图像信号处理的一大利器。

\end{tcolorbox}

\subsection{数项级数}

1. \textbf{定义：}记部分和数列$S_n=\sum\limits_{i=1}^n x_i$，若$\{S_n\}$收敛于有限数$S$，则称无穷级数$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$收敛，记作
\begin{equation*}
    \sum\limits_{n=1}^\infty x_n = S
\end{equation*}
若部分和数列$\{S_n\}$发散，则称无穷级数$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$发散。

2. \textbf{性质$^*$：}若$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$收敛，则必有$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_n=0$。

3. 正项级数：

~~~~（1）定义：每一项均为非负实数的级数，即$\forall n\in \mathbb{R}$，$x_n \geqslant 0$，则称$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$为正项级数。

~~~~（2）收敛原理：正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界。

~~~~（3）比较判别法$^*$：若存在$N\in \mathbb{N}^*$和常数$A>0$，使得$n>N$时恒有$x_n\leqslant A y_n$，则$\sum\limits_{n=1}^\infty y_n$收敛意味着$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$收敛，
$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$发散意味着$\sum\limits_{n=1}^\infty y_n$发散。

~~~~（4）比较判别法的极限形式：设$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{y_n}=l$，若$l$为实常数，则$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$和$\sum\limits_{n=1}^\infty y_n$同敛散性；若$l=0$，
则$\sum\limits_{n=1}^\infty y_n$收敛意味着$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$收敛；若$l=\infty$，则$\sum\limits_{n=1}^\infty y_n$发散意味着$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$发散。

~~~~（5）柯西判别法$^*$：考虑$r=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{x_n}$。若$r>1$，则$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$发散；若$r<1$，则$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$收敛；若$r=1$，则柯西判别法失效。

~~~~（6）达朗贝尔判别法$^*$：考虑$r=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}$。若$r>1$，则$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$发散；若$r<1$，则$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$收敛；若$r=1$，则达朗贝尔判别法失效。

~~~~（7）拉比判别法：考虑$r=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}n\left(\frac{x_n}{x_{n+1}}\right)$。若$r>1$，则级数$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$收敛；若$r<1$，则级数$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$发散；若$r=1$，则拉比判别法失效。

~~~~（8）广义积分判别法：正项级数$\sum\limits_{n=1}^\infty \left[\int_{a_n}^{a_{n+1}}f(x)\mathrm{d}x\right]$与广义积分$\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$敛散性一致，其中$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n=+\infty$。

4. 任意项级数：

~~~~（1）柯西收敛准则：级数$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$收敛的充要条件是：$\forall \varepsilon>0$，$\exists N \in \mathbb{N}^*$，$\forall m>n>N$，$\left|\sum\limits_{k=n}^m x_k\right|<\varepsilon$。

~~~~（2）莱布尼茨判别法$^*$：若正项级数$\{x_n\}$单调递减且收敛于$0$，则交错级数$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n x_n$收敛。

~~~~（3） Abel-Dirichlet判别法：若下面某个条件满足，则无穷级数$\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$收敛：

~~~~~~~~~~~~$\cdot$ Abel条件：$\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$收敛，$\{a_n\}$单调有界；

~~~~~~~~~~~~$\cdot$ Dirichlet条件：$\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$有界，$\{a_n\}$单调趋于$0$。

~~~~（4）绝对收敛：若级数$\sum\limits_{n=1}^\infty \left|x_n\right|$收敛，则称$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$绝对收敛；若$\sum\limits_{n=1}^\infty \left|x_n\right|$发散，且$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$收敛，则称$\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$条件收敛。

\subsection{函数项级数}

1. \textbf{定义：}设$u_n(x)$是具有公共定义域的一列函数，对无穷个函数求和的结果$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)$称为函数项级数。

2. \textbf{点态收敛性：}若对定义域内给定一点$x_0$，数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x_0)$收敛，则称$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)$在点$x_0$处收敛。$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)$所有收敛点的全体称为$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)$的收敛域。

3. \textbf{和函数：}若$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)$的收敛域为$D$，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)$在$D$上定义了一个关于$x$的函数$S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)$，称作$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)$的和函数。

4. 一致收敛性：

~~~~（1）定义：若对任意给定的$\varepsilon>0$，存在仅与$\varepsilon$有关而与$x$无关的$N\in \mathbb{N}^*$，当$n>N$时，
\begin{equation*}
    \left|S_n(x)-S(x)\right|<\varepsilon
\end{equation*}
则称$\{S_n(x)\}$一致收敛于函数$S(x)$。

~~~~（2）内闭一致收敛：若对任意闭区间$[a,b]\subset D$，均有$\{S_n(x)\}$在$[a,b]$上一致收敛于$S(x)$，则称$\{S_n(x)\}$在$D$上内闭一致收敛于$S(x)$。

~~~~（3）判定定理：设$\{S_n(x)\}$在$D$上点态收敛于$S(x)$，定义$\{S_n(x)\}$与$S(x)$的距离为$d(S_n,s)=\sup\limits_{x\in D} \left|S_n(x)-S(x)\right|$，则$\{S_n(x)\}$在$D$上一致收敛于$S(x)$的充分必要条件是：
\begin{equation*}
    \lim\limits_{n\rightarrow\infty}d(S_n,S)=0
\end{equation*}

~~~~（4）非一致收敛判定：若存在数列$\{x_n\}$，$x_n\in D$，使$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(S_n(x_n)-S(x_n)\right)\neq 0$，则$\{S_n(x)\}$在$D$上不一致收敛于$S(x)$。

5. 一致收敛级数：

~~~~（1）定义：记$S_n(x)$为$\{u_n(x)\}$的部分和数列，若$S_n(x)$一致收敛于$S(x)$，则函数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)$一致收敛于$S(x)$。

~~~~（2）柯西收敛准则：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)$在$D$上一致收敛的充要条件是：$\forall \varepsilon>0$，$\exists N \in  \mathbb{N}^*$，$\forall m>n>N$，$x\in D$，$\left|u_{n+1}(x)+\cdots+u_m(x)\right|<\varepsilon$。

~~~~（3）维尔斯特拉斯判别法：若$\forall x\in D$，$\left|u_n(x)\right|\leqslant a_n$，且$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$收敛，则$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)$在$D$上一致收敛。

~~~~（4） Abel-Dirichlet判别法：若下面某条件满足，则函数项级数$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n(x)b_n(x)$在$D$上一致收敛：

~~~~~~~~~~~~$\cdot$ Abel条件：$\sum\limits_{n=1}^\infty b_n(x)$在$D$上一致收敛，且对任意$x\in D$，$\{a_n(x)\}$关于$n$单调且一致有界；

~~~~~~~~~~~~$\cdot$ Dirichlet条件：$\sum\limits_{n=1}^\infty b_n(x)$的部分和序列在$D$上一致有界，且对任意$x \in D$，$\{a_n(x)\}$关于$n$单调且一致收敛于$0$。

~~~~（5）性质：可逐项积分；可逐项求极限；可逐项求导。

6. 幂级数：

~~~~（1）定义：形如$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$的函数项级数称为幂级数。

~~~~（2）收敛域：定义收敛半径$R=\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$，当$|x|<R$时幂级数收敛，$|x|>R$时幂级数发散，$|x|=R$时单独代入判断。
使幂级数收敛的$x$全体称为幂级数的收敛域。

~~~~（3）达朗贝尔判别法：若$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=A$，则幂级数的收敛半径为$R=\frac{1}{A}$。

~~~~（4）性质：幂级数在其收敛域上连续，在收敛域内部可逐项求导、逐项积分。

7. \textbf{泰勒级数：}当泰勒展开
\begin{equation*}
    f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+r_n(x)
\end{equation*}

中，余项满足$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}r_n(x)=0$时，$f(x)$可展开成幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$，且幂级数收敛于函数$f(x)$。

\subsection{傅里叶级数}

1. \textbf{定义：}设$f(x)$是以$2\pi$为周期的函数，且在$[-\pi,\pi]$上可积或绝对可积，则$f(x)$可展开为如下Fourier级数：
\begin{equation*}
    f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)
\end{equation*}
其中$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\mathrm{d}x$，$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\mathrm{d}x$。

2. \textbf{正弦级数和余弦级数：}若$f(x)$为奇函数，则$a_n=0$，即$f(x)$可展开为正弦级数$\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin nx$；
若$f(x)$为偶函数，则$b_n=0$，即$f(x)$可展开为余弦级数$\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\sin nx$。

3. \textbf{任意周期函数的Fourier展开：}设$f(x)$是以$2T$为周期的函数，且在$[-T,T]$上可积或绝对可积，则$f(x)$可展开为如下Fourier级数：
\begin{equation*}
    f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \left(a_n\cos \frac{n\pi}{T}x+b_n\sin \frac{n\pi}{T}x\right)
\end{equation*}
其中$a_n=\frac{1}{T}\int_{-T}^T f(x)\cos \frac{n\pi}{T}x\mathrm{d}x$，$b_n=\frac{1}{T}\int_{-T}^T f(x)\sin \frac{n\pi}{T}x\mathrm{d}x$。

4. \textbf{单点处的收敛性：}若$f(x)$在$[-\pi,\pi]$上可积或绝对可积，在点$x$处存在两个单侧导数，则$f(x)$的傅里叶级数在点$x$处收敛于$\frac{f(x+)+f(x-)}{2}$。

5. \textbf{性质：}可逐项积分；可逐项微分。

6. 傅里叶变换：
\begin{equation*}
    \mathscr{F}(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}\mathrm{d}x
\end{equation*}
称为$f(x)$的傅里叶变换；而
\begin{equation*}
    \mathscr{F}^{-1}(f)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(\omega)e^{i\omega x}\mathrm{d}\omega
\end{equation*}
称为$f(\omega)$的傅里叶逆变换。

7. \textbf{卷积定理：}记$f(x)$和$g(x)$的卷积为
\begin{equation*}
    (f*g)(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)g(x-t)\mathrm{d}t
\end{equation*}
则傅里叶变换将卷积化为乘积，即$\mathscr{F}[f*g]=\mathscr{F}[f]\cdot \mathscr{F}[g]$。

\section{多元函数微分学}

\begin{tcolorbox}[colback=red!5,colframe=red!75!black]
    ~~~~多元函数是指欧几里得空间$\mathbb{R}^n$的子集到$R$上的映射。由于高维欧氏空间的部分概念如极限、连续、区间都无法直接套用实数域上的定义，
    因此在引入多元函数的偏导数和全微分之前，有必要重新定义欧氏空间上的部分基础概念。

    ~~~~偏导数就是多元函数针对某一坐标轴的方向导数，如$\frac{\partial f}{\partial x}$就固定$y$坐标，只对$x$方向求导。在此基础上，定义了多元函数的全微分，并指出多元函数的可微和可偏导不是对等的。
    偏导数还有多种求导法则，如针对复合函数的链式法则，以及针对隐函数的逆映射定理。

    ~~~~偏导数的应用非常广泛。在空间解析几何中，利用偏导数可以求曲线的切线和法平面，以及曲面的切平面与法线；在最优化问题中，不仅可以求无条件限制的极值，还可用拉格朗日乘子法求解条件极值。
\end{tcolorbox}

\subsection{欧几里得空间}

1. \textbf{定义：}设$\mathbb{R}^n={(x_1,\cdots,x_n)|x_i\in R}$为$n$个$\mathbb{R}$的笛卡尔积，在此基础上定义加法运算、数乘运算、向量内积和距离，即构成欧氏空间，其中的元素称为向量。

~~~~（1）加法运算：设$\boldsymbol{x}=(x_1,\cdots,x_n)$，$\boldsymbol{y}=(y_1,\cdots,y_n)$，定义$\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}=(x_1+y_1,\cdots,x_n+y_n)$；

~~~~（2）数乘运算：设$\lambda\in \mathbb{R}$，$\boldsymbol{x}=(x_1,\cdots,x_n)$，定义$\lambda\boldsymbol{x}=(\lambda x_1,\cdots,\lambda x_n)$；

~~~~（3）内积：定义$\boldsymbol{x}$和$\boldsymbol{y}$的内积$\left\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle=x_1y_1+\cdots+x_ny_n=\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i$；

~~~~（4）距离：定义$\boldsymbol{x}$和$\boldsymbol{y}$的距离$|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}$；

~~~~（5）范数：定义$\|\boldsymbol{x}\|=\sqrt{\left\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle}=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$为$\boldsymbol{x}$的Euclid范数。

2. 内积的性质：

~~~~（1）正定性：$\left\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle\geqslant 0$，当且仅当$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$时取等；

~~~~（2）对称性：$\left\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle=\left\langle\boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right\rangle$；

~~~~（3）线性性：$\left\langle\lambda\boldsymbol{x}+\mu\boldsymbol{y},z\right\rangle=\lambda\left\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right\rangle+\mu\left\langle\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right\rangle$；

~~~~（4）柯西不等式$^*$：$\left\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle^2\leqslant \left\langle\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle\cdot\left\langle\boldsymbol{y},\boldsymbol{y}\right\rangle$。

3. 距离的性质：

~~~~（1）正定性：$|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|\geqslant 0$，当且仅当$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$取等；

~~~~（2）对称性：$|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|=|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|$；

~~~~（3）三角不等式$^*$：$|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}|\leqslant |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|+|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{z}|$。

4. \textbf{邻域：}设$\boldsymbol{a}=(a_1,\cdots,a_n)\in \mathbb{R}^n$，$\delta>0$，称点集
\begin{equation*}
    O(\boldsymbol{a},\delta)=\{x\in \mathbb{R}^n\Big| |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|<\delta\}
\end{equation*}
为点$\boldsymbol{a}$的$\delta$邻域，记作$O(\boldsymbol{a},\delta)$。

5. \textbf{点和$\mathbb{R}^n$上点集的关系：}设$\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n$，$S\subset \mathbb{R}^n$，

~~~~（1）内点：若存在$\delta>0$，使得$O(\boldsymbol{x},\delta)\subset S$，则称$\boldsymbol{x}$为$S$的内点；

~~~~（2）边界点：若$\boldsymbol{x}$的任意邻域$O(\boldsymbol{x},\delta)$内，都同时存在$S$内和$S$外的点，则称$x$为$S$的边界点；

~~~~（3）外点：若存在$\delta>0$，使得$O(\boldsymbol{x},\delta)\subset S^C$，则称$\boldsymbol{x}$为$S$的外点；

~~~~（4）聚点：若$\boldsymbol{x}$的任意邻域内都含有$S$中的无穷多个点，则称$\boldsymbol{x}$为$S$的聚点。

6. 开集和闭集；

~~~~（1）开集：若$S$中的每一个点都是$S$的内点，则称$S$为开集；

~~~~（2）闭集：若$S$的所有聚点均属于$S$，则称$S$为闭集。

7. 欧氏空间基本定理：

~~~~（1）闭矩形套定理：设$\Delta_k=[a_k,b_k]\times [c_k,d_k]$是$\mathbb{R}^2$上一列矩形，若$\Delta_{k+1}\subset \Delta_k$，且$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\sqrt{(b_k-a_k)^2+(d_k-c_k)^2}=0$，则
存在唯一的点$\boldsymbol{a}$在所有$\Delta_k$内，且该点的横坐标等于$\{a_k\}$和$\{b_k\}$的极限值，纵坐标等于$\{c_k\}$和$\{d_k\}$的极限值。

~~~~（2）Bolzano-Weierstrass定理：$\mathbb{R}^n$上的有界点列必有收敛子列。

~~~~（3）柯西收敛准则：$\mathbb{R}^n$上的点列$\{x_n\}$收敛的充要条件是：$\forall \varepsilon>0$，$\exists N \in \mathbb{N}^*$，$\forall m>n>N$，
$|\boldsymbol{x}_m-\boldsymbol{x}_n|<\varepsilon$。

\subsection{多元连续函数}

1. \textbf{多元函数：}设$D$是$\mathbb{R}^n$上的点集，$D$到$\mathbb{R}$上的映射$f:D\rightarrow \mathbb{R}$称为$n$元函数。

2. \textbf{多元函数的$n$重极限：}对任意$\varepsilon>0$，存在$\delta>0$，使得$\boldsymbol{x}_0$的去心邻域$O(\boldsymbol{x}_0,\delta)\backslash \{\boldsymbol{x}_0\}$
内的任一点$\boldsymbol{x}$，均有$|f(\boldsymbol{x})-A|<\varepsilon$，则称多元函数$f(\boldsymbol{x})$在$\boldsymbol{x}_0$处收敛于$A$，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x}_0}f(\boldsymbol{x})=A$。

3. \textbf{累次极限：}对二元函数$f(x,y)$而言，若先求$x\rightarrow x_0$时$f(x,y)$的极限，再求$y\rightarrow y_0$时的极限，得到的结果称为先$x$后$y$的二次极限，
记作$\lim\limits_{y\rightarrow y_0}\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x,y)$；同理可以定义先$y$后$x$的二次极限。

4. \textbf{二次极限和二重极限的关系：}二次极限存在时，二重极限不一定存在；反之，二重极限存在时，二次极限一定存在且等于二重极限。

5. \textbf{多元函数连续性：}若$\lim\limits_{\boldsymbol{x} \rightarrow x_0}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x}_0)$，则称$f(\boldsymbol{x})$在$\boldsymbol{x}_0$处连续；若$f(\boldsymbol{x})$在$D$上每一点均连续，则称
$f$是$D$上的连续函数。

6. \textbf{向量值函数：}设$D$是$\mathbb{R}^n$上的点集，$D$到$\mathbb{R}^m$的映射$f:D\rightarrow \mathbb{R}^m$称为$n$元$m$维向量值函数。

7. 连续函数的性质：

~~~~（1）有界性定理：若$K$为$\mathbb{R}^n$上的有界闭集，$f$是$K$上的连续函数，则$f$在$K$上有界；

~~~~（2）最值定理：设$K$是$\mathbb{R}^n$上的有界闭集，$f$是$K$上的连续函数，则$f$在$K$上必定能取到最大值和最小值；

~~~~（3）一致连续：若$K$是$\mathbb{R}^n$中的点集，$f:K\rightarrow \mathbb{R}^n$为映射。若$\forall \varepsilon>0$，$\exists \delta >0$，$\forall \boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2\in K$，$|\boldsymbol{x}_1-\boldsymbol{x}_2|<\delta$，
均有$|f(\boldsymbol{x}_1)-f(x_2)|<\varepsilon$，则称$f(\boldsymbol{x})$在$K$上一致连续。

~~~~（4）一致连续性定理：若$K$是$\mathbb{R}^n$上的有界闭集，$f:K\rightarrow \mathbb{R}^n$为连续映射，则$f$在$K$上一致连续。

\subsection{偏导数与全微分}

1. \textbf{定义：}设$D\subset \mathbb{R}^2$为开集，$z=f(x,y)$为定义在$D$上的二元函数，$\left(x_0,y_0\right)\in D$为一定点。

~~~~（1）关于$x$的偏导：若极限
\begin{equation*}
    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}
\end{equation*}
存在，则称$f$在$(x_0,y_0)$点关于$x$可偏导，极限值称为$f$关于$x$的偏导数。

~~~~（2）关于$y$的偏导：若极限
\begin{equation*}
    \lim\limits_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}
\end{equation*}
存在，则称$f$在$(x_0,y_0)$点关于$y$可偏导，极限值称为$f$关于$y$的偏导数。

~~~~（3）偏导函数：若$f$在任意$(x_0,y_0)\in D$处关于$x$均可偏导，则称$f$在$D$上可对$x$偏导，得到的偏导函数记作$\frac{\partial f }{\partial x}$或$f_x$；
同理，可将$f$关于$y$的偏导记作$\frac{\partial f}{\partial y}$或$f_y$。

2. \textbf{方向导数：}设$z=f(x,y)$为定义在$D$上的二元函数，$\boldsymbol{v}=(\cos \alpha,\sin \alpha)$为一个方向。记
\begin{equation*}
    \frac{\partial f}{\partial\boldsymbol{v}}=f_x \cos\alpha +f_y \sin\alpha
\end{equation*}
为$f$沿方向$\boldsymbol{v}$的方向导数。

3. \textbf{全微分：}若$z$的增量$\Delta z$可用$x$的增量、$y$的增量表示为
\begin{equation*}
    \Delta z =A \Delta x +B\Delta y+o\left(\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\right)
\end{equation*}
则称函数$z=f(x,y)$是可微的，并记线性主要部分$A\Delta x +B \Delta y$为$f(x,y)$的全微分，记作$\mathrm{d}z=A\mathrm{d}x+B\mathrm{d}y$。
其中$A(x,y)=f_x$，$B(x,y)=f_y$。

4. \textbf{梯度：}称向量$(f_x,f_y)$为函数$z=f(x,y)$的梯度，记作\textbf{grad}$f$。梯度表示了函数值增加最快的方向。

5. \textbf{高阶偏导数：}对$f$求偏导数后再求偏导数的结果称为二阶偏导数，对$f$求$n$次偏导的结果称为$n$阶偏导数。
二阶偏导数按照对$x$和$y$求偏导的次序分为四种：$f_{xx}$、$f_{xy}$、$f_{yx}$、$f_{yy}$，其中$f_{xy}=f_{yx}$。

6. \textbf{雅可比行列式：}考虑向量值函数
\begin{equation*}
    f(\boldsymbol{x})=\left\{
        \begin{aligned}
            y_1 & = & f_1(x_1,\cdots,x_n)\\
            y_2 & = & f_2(x_2,\cdots,x_n)\\
        &\vdots&\\
            y_m & = & f_m(x_2,\cdots,x_n)
        \end{aligned}\right.
\end{equation*}
在每一个坐标分量$y_i$处，对每一个自变量$x_j$求偏导数，将结果用矩阵
\begin{equation*}
    J=\begin{pmatrix}
        \frac{\partial f_1}{\partial x_1} &\cdots&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\
        \vdots&\vdots&\vdots\\
        \frac{\partial f_m}{\partial x_1} &\cdots&\frac{\partial f_m}{\partial x_n}
    \end{pmatrix}
\end{equation*}
表示，该矩阵称为向量值函数的雅可比矩阵，记作$f'(\boldsymbol{x})$或$\mathrm{D}f$。雅可比矩阵相当于向量值函数的导数。

7. \textbf{连续、可偏导和可微的关系：}可微必连续；可微必可偏导；可偏导不一定可微，但偏导数连续时一定可微。

\subsection{多元函数求导法则}

1. \textbf{一般求导方法：}对$x$求偏导时，把$y$视作常量，仅对$x$求导；对$y$求偏导时，把$x$视作常量，仅对$y$求导。

2. \textbf{多元复合函数的链式求导法则：}设$z=z(x,y)$，其中$x=x(u,v)$，$y=y(u,v)$则有：
\begin{eqnarray*}
    z_u=z_x\cdot x_u+z_y \cdot y_u
    z_v = z_x \cdot x_v +z_y \cdot y_v
\end{eqnarray*}
面对更为复杂的情况时，首先按照复合次序从上到下列出树状图，再考虑自顶向下所有能连到目标变量的路径，求处此路径上所有偏导数的乘积，最终将它们求和。

3. \textbf{一阶全微分的形式不变性：}无论$x$、$y$是自变量还是中间变量，一阶全微分$\mathrm{d}z=z_x\mathrm{d}x+z_y\mathrm{d}y$这一形式始终不变。

4. \textbf{隐函数存在性定理：}若二元函数$F(x,y)$满足$F(x_0,y_0)=0$，在以$(x_0,y_0)$为中心的某一闭矩形上连续且具有连续偏导数，同时$F_y(x_0,y_0)\neq 0$，则
可以从隐函数$F(x,y)=0$中唯一确定隐函数$y=f(x)$。

5. \textbf{多元隐函数求导方法：}对$F(y,x_1,x_2,\cdots,x_n)$两边分别关于$x_1,x_2,\cdots,x_n$求导，将$\frac{\partial y}{\partial x_1},\cdots,\frac{\partial y}{\partial x_n}$视作变量，求解$n$元方程组。

\subsection{多元函数微分学的应用}

1. \textbf{中值定理：}设$f(x,y)$在凸区域$D\subset \mathbb{R}^2$上可微，则对$D$上任意两点$(x_0,y_0)$和$x_0+\Delta x,y_0+\Delta y$，存在$0<\theta<1$，记$\boldsymbol{t }= (x_0+\theta \Delta x,y_0+\theta \Delta y)$，则
\begin{equation*}
    f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=f_x(\boldsymbol{t})\Delta x+f_y(\boldsymbol{t})\Delta y
\end{equation*}

2. \textbf{泰勒展开：}设$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的邻域$U$上具有$n+1$阶连续偏导数，则$U$内每一点成立
\begin{equation*}
    f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=\sum\limits_{k=0}^n \frac{1}{k!}\left(\frac{\partial}{\partial x}\Delta x +\frac{\partial}{\partial y}\Delta y\right)^k f(x_0,y_0)+o\left(\left(\Delta x^2+\Delta y^2\right)^\frac{k}{2}\right)
\end{equation*}

3. 空间曲线的切线和法平面：

~~~~（1）空间曲线的参数方程：设参数$t\in[a,b]$，则参数方程
\begin{equation*}
    \Gamma:\left\{\begin{aligned}
        x=x(t)\\
        y=y(t)\\
        z=z(t)
    \end{aligned}\right.
\end{equation*}
表示空间中的一条曲线。

~~~~（2）空间曲线的切向量：向量$\boldsymbol{r}'(t_0)=\left(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0)\right)$是曲线$\Gamma$在$t=t_0$处的切向量。

~~~~（3）空间曲线的切线方程：当$t=t_0$时，空间曲线$\Gamma$的切线方程为
\begin{equation*}
    \frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}
\end{equation*}

~~~~（4）空间曲线的法平面：过定点$\left(x(t_0),y(t_0),z(t_0)\right)$且与该点切线垂直的平面，方程为
\begin{equation*}
    x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0
\end{equation*}

4. 曲面的切平面和法线：

~~~~（1）空间曲面方程：$S:F(x,y,z)=0$。

~~~~（2）空间曲面的切平面：在$P_0(x_0,y_0,z_0)$处，空间曲面$S$的切平面方程为
\begin{equation*}
    F_x(P_0)(x-x_0)+F_y(P_0)(y-y_0)+F_z(P_0)(z-z_0)=0
\end{equation*}

~~~~（3）空间曲面的法向量：$\boldsymbol{n}=\left(F_x(P_0),F_y(P_0),F_z(P_0)\right)$。

~~~~（4）空间曲面的法线：
\begin{equation*}
    \frac{x-x_0}{F_x(P_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(P_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(P_0)}
\end{equation*}

6. \textbf{求函数最值：}设nabla算子$\nabla =\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}\right)$，
则求函数$f(x,y)$的最值时，先求解$\nabla f = \boldsymbol{0}$得到$f$的所有极值，再比较得出$f$的最大值和最小值。


7. \textbf{条件极值：}设函数$f=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$满足约束$G_i(x_1,\cdots,x_n)=0$，其中$i=1,2,\cdots,m$，构建Lagrange函数
\begin{equation*}
    L(x_1,\cdots,x_n,\lambda_1,\cdots,\lambda_m)=f(x_1,\cdots,x_n)+\sum\limits_{i=1}^m \lambda_iG_i(x_1,\cdots,x_n)
\end{equation*}

列出$m+n$个方程：$\frac{\partial L}{\partial x_i}=0$与$\frac{\partial L}{\partial \lambda_i}=0$，从中解出极值点$(x_1,\cdots,x_n)$满足的条件。此方法称为Lagrange乘数法。

\section{多元函数积分学}

\begin{tcolorbox}[colback=red!5,colframe=red!75!black]
    ~~~~和之前的一元函数微积分略有区别，学习多元函数积分学的重心不在于理论证明，而更注重实际应用。
   多元函数积分对现实问题的刻画更为深刻，每一种线面积分都有实际的物理意义，在物理、工程上有非常广泛的应用。

    ~~~~当积分区域从平面变为空间时，首先要解决的是最简单的问题，即在$xOy$平面的投影是矩形的情况，这就引入了二重积分。若为空间
    里的每个点赋予密度，对空间几何体求质量的问题就可转化为三重积分。因此，学习多元函数积分学的第一步，是掌握重积分的各种技巧。

    ~~~~若积分对象变得不规则，如空间中的任意曲线、曲面，此时需要引入另一类积分，那就是线面积分。若积分时不区分方向，则称为对弧长/面积的线面积分，即
    第一类线面积分；若积分时考虑方向，则称为对坐标的线面积分，即第二类线面积分。作为物理中的重要应用，还介绍了部分关于场论的概念。

    ~~~~在数学分析中有一个非常优美的公式——流形上的Stokes公式，它统一了微积分基本定理、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。为了介绍该著名公式，额外引入了微分形式与外微分作为铺垫。

    ~~~~最后介绍了含参变量积分。若对二元函数中的某一个变量积分，得到的便是关于另一个变量的函数，这种函数被称为含参变量积分。它是数学分析中某些后续课程的基础，因此有必要介绍含参变量积分的相关性质。
\end{tcolorbox}

\subsection{重积分}

1. \textbf{二重积分：}考虑一个曲顶柱体，底面是$xOy$平面上的有界闭区域$D$，顶面是非负连续函数$z=f(x,y)$，则该曲顶柱体的体积便是$f(x,y)$在区域$D$上的二重积分，记作
\begin{equation*}
    \iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d} \sigma
\end{equation*}
其中$\mathrm{d}\sigma$为面积微元。

2. 二重积分的计算：

~~~~（1）直角坐标系上：$\mathrm{d}\sigma$可用$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$表示。

~~~~（2）先$y$后$x$积分法：若$D$的横坐标取值范围是$[a,b]$，对任意$x_0\in [a,b]$，$D$与$x=x_0$所交线段纵坐标在$[f(x_0),g(x_0)]$内，则
\begin{equation*}
    \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_a^b\mathrm{d}x\left[\int_{f(x)}^{g(x)}f(x,y)\mathrm{d} y\right]
\end{equation*}

~~~~（3）先$x$后$y$积分法：若$D$的纵坐标取值范围是$[c,d]$，对任意$y_0\in [c,d]$，$D$与$y=y_0$所交线段横坐标在$[f(y_0),g(y_0)]$内，则
\begin{equation*}
    \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_c^d\mathrm{d}y\left[\int_{f(y)}^{g(y)}f(x,y)\mathrm{d} x\right]
\end{equation*}

3. 二重积分的变量代换：

~~~~（1）极坐标代换公式：设$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，其中$\theta\in [\theta_1,\theta_2]$，$r$的取值范围为$[r_1(\theta),r_2(\theta)]$，则
\begin{equation*}
    \iint\limits_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{\theta_1}^{\theta_2} \mathrm{d}\theta \left[\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(x,y)\cdot r\mathrm{d}r\right]
\end{equation*}

~~~~（2）一般坐标代换公式：设$x=x(u,v)$，$y=y(u,v)$，雅可比行列式
\begin{equation*}
    \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\left|\begin{matrix}
        x_u&x_v\\
        y_u&y_v
    \end{matrix}\right|
\end{equation*}
则面积微元可按照如下公式代换：
\begin{equation*}
    \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v
\end{equation*}

4. \textbf{三重积分：}考虑空间上的封闭几何体$\Omega$，每一点$(x,y,z)$处的密度为$f(x,y,z)$，则该几何体的质量便是$f(x,y,z)$在空间几何体$\Omega$上的三重积分，记作
\begin{equation*}
    \iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}V
\end{equation*}

5. 三重积分的计算：

~~~~（1）直角坐标系上：$\mathrm{d}V$可用$\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$表示。

~~~~（2）先1后2积分法：先求空间几何体在平面上的投影$D$（以$xOy$平面为例），过$D$内任一点$(x,y)$作$z$轴平行线，与空间几何体所交线段的$z$坐标范围为$[z_1,z_2]$，则
\begin{equation*}
    \iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}x \mathrm{d}y\mathrm{d}z = \iint\limits_D \mathrm{d}x\mathrm{d}y\left[\int_{z_1}^{z_2} f(x,y,z)\mathrm{d}z\right]
\end{equation*}

~~~~（3）先2后1积分法：设空间几何体的$z$坐标范围为$[z_1,z_2]$，过任意$z\in[z_1,z_2]$作平行于$xOy$的平面，交空间几何体于平面区域$D(z)$，则
\begin{equation*}
    \iiint\limits_\Omega f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\int_{z_1}^{z_2}\mathrm{d}z\left[\iint\limits_{D(z)}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right]
\end{equation*}

6. 三重积分的变量代换：

~~~~（1）柱坐标代换公式：令$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z$保持不变，则
\begin{equation*}
    \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iiint\limits_{\Omega}f(r,\theta,z)r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z
\end{equation*}

~~~~（2）球坐标代换公式：令$x=r\sin\varphi\cos\theta$，$y=r\sin\varphi\sin\theta$，$z=r\cos\varphi$，则
\begin{equation*}
    \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iiint\limits_{\Omega}f(r,\theta,\varphi)r^2\sin\varphi\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi
\end{equation*}
其中$\varphi$表示和$z$轴负半轴的夹角范围，通常取$[0,\pi]$；$\theta$表示$xOy$平面上旋转角度，通常取$[0,2\pi]$。

~~~~（3）一般坐标代换公式：令$x,y,z$分别为$u,v,w$的函数，则
\begin{equation*}
    \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\iiint\limits_{\Omega}f(u,v,w)\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w
\end{equation*}

\subsection{曲线积分}

1. \textbf{第一类曲线积分：}对弧长的曲线积分。考虑一段各点密度$f(x,y)$已知的平面曲线$L$，对其求质量时，取弧长微元$\mathrm{d}s$，则有第一类曲线积分：
\begin{equation*}
    \int\limits_L f(x,y)\mathrm{d} s
\end{equation*}
当$L$为空间曲线时，弧长微元仍为$\mathrm{d}s$，第一类曲线积分定义为$\int \limits_L f(x,y,z)\mathrm{d} s$。

2. \textbf{第一类曲线积分求法：}平面曲线有$\mathrm{d}s=\sqrt{(x')^2+(y')^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$；空间曲线有$\mathrm{d}s=\sqrt{(x')^2+(y')^2+(z')^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$。

3. 第二类曲线积分；对坐标的曲线积分。考虑一段标定方向的空间曲线$L$，以力$f(x,y)=\left(P(x,y),Q(x,y)\right)$沿着$L$做功，则有第二类曲线积分：
\begin{equation*}
    \int\limits_L P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y
\end{equation*}
空间曲线上的第二类曲线积分定义为$\int\limits_L P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z$。

4. \textbf{第二类曲线积分求法：}用参数$t$描述曲线$L$，则可以代入$\mathrm{d}x=x'(t)\mathrm{d}t$，同理有$\mathrm{d}y=y'(t)\mathrm{d}t$和$\mathrm{d}z=z'(t)\mathrm{d}t$。

5. \textbf{格林公式：}设$D$为平面上光滑或分段光滑的简单闭曲线所围成的单连通闭区域，$\partial D$为逆时针方向的区域边界，且函数$P(x,y)$和$Q(x,y)$在$D$上具有连续偏导数，则有
\begin{equation*}
    \oint\limits_{\partial D}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=\iint\limits_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation*}

6. \textbf{曲线积分与路径无关的条件：}若$P \mathrm{d}x +Q\mathrm{d}y$恰好为函数$u(x,y)$的全微分，即
\begin{equation*}
    \mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
\end{equation*}
则曲线积分$\int\limits_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$与路径$L$无关，仅与起点$A$和终点$B$有关，且积分值为$u(x,y)\big|_A^B$。
判定方式：$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$。

\subsection{曲面积分}

1. \textbf{第一类曲面积分：}对面积的曲面积分。考虑各点密度$f(x,y,z)$已知的空间曲面$\Sigma$，对其求质量时，取面积微元$\mathrm{d}S$，则有第一类曲面积分：
\begin{equation*}
    \iint\limits_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}S
\end{equation*}

2. \textbf{第一类曲面积分求法：}当曲面方程可用$z=z(x,y)$，$(x,y)\in D$表示时，面积微元$\mathrm{d}S =\sqrt{1+(z_x)^2+(z_y)^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，即
\begin{equation*}
    \iint\limits_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}S=\iint\limits_D f\left(x,y,z(x,y)\right)\sqrt{1+(z_x)^2+(z_y)^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation*}

3. \textbf{第二类曲面积分：}对坐标的曲面积分。考虑各点流速$\left(P,Q,R\right)$已知的流体在定向曲面$\Sigma$上的流量，则有第二类曲面积分：
\begin{equation*}
    \iint\limits_{\Omega}P(x,y,z) \mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q(x,y,z) \mathrm{d}z\mathrm{d}x+R(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{equation*}

4. \textbf{第二类曲面积分求法：}首先确定$\Omega$定向。以$P\mathrm{d}x\mathrm{d}y$分量为例，用平行于$z$轴正方向的线穿过曲面，若该线穿入曲面则定为反向（二重积分变号），穿出曲面则定为正向。
定向后，分别将$P\mathrm{d}x\mathrm{d}y$、$Q\mathrm{d}y\mathrm{d}z$、$R\mathrm{d}z\mathrm{d}x$投影到$xOy$、$yOz$、$zOx$平面，分别在各投影面上直接用二重积分的方法求解各个分量的积分值，最后求和。
此方法麻烦且不常用，一般都可以用后面介绍的高斯公式求解。

5. \textbf{高斯公式：}设$\Omega$是由光滑或分片光滑的封闭曲面围成的闭区域，函数$P(x,y,z)$，$Q(x,y,z)$，$Q(x,y,z)$在$\Omega$上具有连续偏导数，$\partial \Omega$为$\Omega$的外侧曲面，则
\begin{equation*}
    \oiint\limits_{\partial \Omega}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iiint\limits_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z
\end{equation*}

6. \textbf{斯托克斯公式：}设$\Sigma$为光滑曲面，其边界$\partial \Sigma$为分段光滑闭曲线。若函数$P(x,y,z)$，$Q(x,y,z)$，$R(x,y,z)$在$\Sigma$以及$\partial \Sigma$上具有连续偏导数，则成立
\begin{equation*}
    \int\limits_{\partial \Sigma} P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=\iint\limits_\Sigma \left|\begin{matrix}
        \mathrm{d}y\mathrm{d}z &\mathrm{d}z\mathrm{d}x&\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\
        \frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\
        P&Q&R\\
    \end{matrix}\right|
\end{equation*}

\subsection{流形上的Stokes公式}

1. \textbf{向量外积：}设$\boldsymbol{a}=(a_1,a_2)$，$\boldsymbol{b}=(b_1,b_2)$，则定义向量外积
\begin{equation*}
    a \wedge b = \left|\begin{matrix}
        a_1&a_2\\
        b_1&b_2
    \end{matrix}\right|
\end{equation*}
外积具有反对称性和对加法的分配律，且$\boldsymbol{a}\wedge \boldsymbol{a}=0$。向量外积的几何意义为平行四边形的有向面积。

2. \textbf{微分形式：}以微分及其外积作为一组基的向量空间。

~~~~（1）一次微分形式：令$\boldsymbol{x}=(x_1,\cdots,x_n)$，则$1-$形式为
\begin{equation*}
    a_1(\boldsymbol{x})\mathrm{d}x_1 +\cdots +a_n(\boldsymbol{x})\mathrm{d}x_n \in \Lambda^1
\end{equation*}

~~~~（2）二次微分形式：由反对称性得$\mathrm{d}x_i \wedge \mathrm{d}x_j =-\mathrm{d}x_j \wedge \mathrm{d}x_i$，则$2-$形式为
\begin{equation*}
    \sum\limits_{1\leqslant i<j \leqslant n} g_{ij}(\boldsymbol{x}) \mathrm{d}x_i \wedge \mathrm{d}x_j \in \Lambda^2
\end{equation*}

3. \textbf{微分形式的外积：}令$\omega = a_1(\boldsymbol{x})\mathrm{d}x_1+\cdots + a_n(\boldsymbol{x})\mathrm{d}x_n$，$\eta = b_1(\boldsymbol{x})\mathrm{d}x_1+\cdots + b_n(\boldsymbol{x})\mathrm{d}x_n$：
\begin{align*}
    \omega \wedge \eta &=\sum\limits_{i,j=1}^n a_i(\boldsymbol{x})b_j(\boldsymbol{x})\mathrm{d}x_i \wedge \mathrm{d}x_j\\
    &=\sum\limits_{1\leqslant i<j \leqslant n}\left|\begin{matrix}
        a_i(\boldsymbol{x}) & a_j(\boldsymbol{x})\\
        b_i(\boldsymbol{x}) & b_j(\boldsymbol{x})
    \end{matrix}\right| \mathrm{d}x_i \wedge \mathrm{d}x_j
\end{align*}

4. \textbf{外微分：}对$\Lambda^1$的任意$1-$形式$\omega = a_1(\boldsymbol{x})\mathrm{d}x_1+\cdots+a_n(\boldsymbol{x})\mathrm{d}x_n$，
定义$\mathrm{d} \omega = \mathrm{d}a_1(\boldsymbol{x})\wedge \mathrm{d}x_1+\cdots+\mathrm{d}a_n(\boldsymbol{x})\wedge \mathrm{d}x_n$。
同理，当$\omega$为$2-$形式时，定义
\begin{equation*}
    \mathrm{d}\omega = \sum\limits_{1\leqslant i<j \leqslant n} \mathrm{d}g_{ij}(\boldsymbol{x})\wedge  \mathrm{d}x_i \wedge \mathrm{d}x_j
\end{equation*}

5. \textbf{流形上的斯托克斯公式：}高次微分形式$\mathrm{d}\omega$在给定区域上的积分等于低一次的微分形式$\omega$ 在低一维的区域边界上的积分。定义$M$为微分流形，$\partial M$为$M$具有诱导定向的边界，则
\begin{equation*}
    \int \limits_{\partial M}\omega = \int\limits_{M}\mathrm{d}\omega
\end{equation*}

~~~~（1）Newton-Leibniz公式：令$M=[a,b]$，则$\partial M=\big|_a^b$。此时
\begin{equation*}
    F(x)\big|_a^b =\int_a^b \mathrm{d}F(x)=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x
\end{equation*}

~~~~（2）Green公式：令$M$为平面封闭区域$D$，取诱导定向为逆时针，此时
\begin{align*}
    \oint\limits_{\partial D}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y &=\iint\limits_D \left(P_x\mathrm{d}x+P_y\mathrm{d}y\right)\wedge\mathrm{d}x+\left(Q_x\mathrm{d}x+Q_y\mathrm{d}y\right)\wedge\mathrm{d}y\\
&=\iint\limits_D \left(Q_y-P_x\right)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y
\end{align*}


~~~~（3）Gauss公式：令$M$为空间封闭区域$\Omega$，取诱导定向为外侧，此时
\begin{align*}
    &\oiint\limits_{\partial \Omega} P\mathrm{d} y\wedge\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\\
    &=\iiint\limits_{\Omega}\left(P_x\mathrm{d}x\right)\wedge \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z+\left(Q_y\mathrm{d}y\right)\wedge \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x+\left(R_z\mathrm{d}z\right)\wedge \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y\\
    &=\iiint\limits_{\Omega}\left(P_x+Q_y+R_z\right)\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z
\end{align*}

~~~~（4）Stokes公式：令$M$为空间曲面$S$，取诱导定向为逆时针，此时
\begin{align*}
    &\oint\limits_{\partial D}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=\iint\limits_{D}\left(P_y\wedge \mathrm{d} y +P_z \wedge \mathrm{d} z\right)\wedge \mathrm{d}x \\
    &+\left(Q_x\wedge \mathrm{d} x +Q_z \wedge \mathrm{d} z\right)\wedge \mathrm{d}y+\left(Q_x\wedge \mathrm{d} x +R_y \wedge \mathrm{d} y\right)\wedge \mathrm{d}z\\
    &=\iint\limits_{D} \left|\begin{matrix}
        \mathrm{d}y\wedge\mathrm{d}z &\mathrm{d}z\wedge\mathrm{d}x&\mathrm{d}x\wedge\mathrm{d}y\\
        \frac{\partial }{\partial x} &\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\
        P&Q&R  
    \end{matrix}\right|
\end{align*}

\subsection{场论}

1. \textbf{场：}设$\Omega\subset \mathbb{R}^3$为一个区域，若在$t$时刻，$\Omega$中每一点$(x,y,z)$都有一个确定的$f(x,y,z,t)$与之对应，
则称$f$为$\Omega$上的场。当$f$为多元函数时，称为数量场；当$f$为向量值函数时，称为向量场。

2. \textbf{梯度：}若$f(x,y,z)$在$\Omega$上具有连续偏导数，则定义$f$的梯度为
\begin{equation*}
    \boldsymbol{grad} f=f_x \boldsymbol{i}+f_y \boldsymbol{j}+f_z\boldsymbol{k}
\end{equation*}
函数沿梯度方向上升最快。

3. \textbf{散度：}设$\boldsymbol{a}=(P,Q,R)$为$\Omega$上的向量场，$M$为$\Omega$中一点，定义
\begin{equation*}
    \text{div } \boldsymbol{a}(M)=P_x(M)+Q_y(M)+R_z(M)
\end{equation*}
为向量场$\boldsymbol{a}$在$M$点的散度。当散度为正时，$M$为源点；当散度为负时，$M$为汇点；若$\Omega$中任一点的散度均为0，则称$\Omega$为无源场。

4. \textbf{旋度：}设$\boldsymbol{a}=(P,Q,R)$为$\Omega$上的向量场，$M$为$\Omega$中一点，定义
\begin{equation*}
    \textbf{rot } \boldsymbol{a}(M)=\left|\begin{matrix}
        \boldsymbol{i} &\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\
        \frac{\partial }{\partial x} &\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\
        P(M)&Q(M)&R(M)  
    \end{matrix}\right|
\end{equation*}
为向量场$\boldsymbol{a}$在$M$点的旋度。当旋度处处为\textbf{0}时，$\textbf{a}$称为保守场，此时$\textbf{a}$中的曲线积分与路径无关。

5. Hamilton算子：

~~~~（1）Nabla算子：定义如下，且$\nabla f=\textbf{grad }f $，$\nabla \cdot \boldsymbol{a}=\text{div }\boldsymbol{a} $，$\nabla \times \boldsymbol{a}=\textbf{rot }\boldsymbol{a} $。
\begin{equation*}
    \nabla = \boldsymbol{i}\frac{\partial }{\partial x}+\boldsymbol{j}\frac{\partial }{\partial y}+\boldsymbol{k}\frac{\partial }{\partial z}
\end{equation*}

~~~~（2）Laplace算子：定义如下，且$\Delta=\nabla \cdot \nabla$，称$\Delta u=0$为调和方程。
\begin{equation*}
    \Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}
\end{equation*}

\subsection{含参变量积分}

1. \textbf{定义：}设$f(x)$是定义在闭矩形$[a,b]\times [c,d]$上的连续函数，则定义关于$y$的函数
\begin{equation*}
    I(y)=\int_a^b f(x,y)\mathrm{d}x
\end{equation*}
定义域为$[c,d]$。同样可以定义关于$x$的函数
\begin{equation*}
    J(x)=\int_c^d f(x,y)\mathrm{d}y
\end{equation*}
定义域$[a,b]$。这种对$f(x,y)$中某一个变量积分得到的函数称为含参变量积分。

2. \textbf{含参变量积分的分析性质：}若$f(x)$在闭矩形上是连续函数，则积分得到的函数连续，积分号可分别与求导、极限、积分交换次序。

3. \textbf{含参变量积分求导：}设$F(y)=\int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$，则
\begin{equation*}
    F'(y)=\int_{a(y)}^{b(y)}f_y(x,y)\mathrm{d}x+b'(y)f(b,y)-a'(y)f(a,y)
\end{equation*}

4. 含参变量广义积分：

~~~~（1）一致收敛定义：设$f(x,y)$的定义域为$[a,+\infty)\times[c,d]$。若$\forall \varepsilon>0$，$\exists A_0>0$，$\forall A>A_0$，$\forall y\in [c,d]$， 
\begin{equation*}
    \left|\int_a^A f(x,y)\mathrm{d} x-I(y)\right|<\varepsilon
\end{equation*}
则称$\int_a^{+\infty} f(x,y)\mathrm{d}x$关于$y$在$[c,d]$上一致收敛于$I(y)$。

~~~~（2）柯西收敛准则：$\int_a^{+\infty} f(x,y)\mathrm{d}x$关于$y$在$[c,d]$上一致收敛的充要条件：$\forall \varepsilon>0$，$\exists A_0>0$，$\forall A_2>A_1>A_0$，$\forall y\in[c,d]$，
\begin{equation*}
    \left|\int_{A_1}^{A_2}f(x,y)\mathrm{d}x\right|<\varepsilon
\end{equation*}

~~~~（3）Weierstrass判别法：若存在$F(x)$使得$|f(x,y)|\leqslant F(x)$在定义域内恒成立，且$\int_a^{+\infty}F(x)\mathrm{d}x$收敛，
则$\int_a^{+\infty} f(x,y)\mathrm{d}x$在$[c,d]$上一致收敛。

~~~~（4）A-D判别法：若下面某条件满足，则含参变量积分$\int_a^{+\infty}f(x,y)g(x,y)\mathrm{d}x$在$[c,d]$上一致收敛：

~~~~~~~~~~~~$\cdot$ Abel条件：$\int_a^{+\infty}f(x,y)\mathrm{d}x$在$[c,d]$上一致收敛，且对任意$y\in [c,d]$，$g(x,y)$关于$x$单调且一致有界；

~~~~~~~~~~~~$\cdot$ Dirichlet条件：$\int_a^{A}f(x,y)\mathrm{d}x$在$[c,d]$上关于$A$一致有界，且对任意$y \in [c,d]$，$g(x,y)$关于$x$单调且一致趋于$0$。
